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Calculus

 (5)
선형근사와 증분과 미분 삼변수함수에서 선형근사는 다음과같다. f(x,y,z)≈f(a,b,c)+fx(a,b,c)(x−a)+fy(a,b,c)(y−b)+fz(a,b,c)(z−c)f(x,y,z)\approx f(a,b,c)+f_x(a,b,c)(x-a)+f_y(a,b,c)(y-b)+f_z(a,b,c)(z-c) 이때, 선형화 L(x,y,z)는 위 식의 우변에 해당한다. 만약 w=f(x,y,z) 일때 w의 증분 Δw은 다음과같다. Δw=f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)−f(x,y,z)\Delta w = f(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z) - f(x, y, z) 미분 dw의 값은 다음과 같다. dw=∂w∂xdx+∂w∂ydy+∂w∂zdzdw=\frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz
전미분 이변수함수 z=f(x,y)에서\text{이변수함수 }z=f(x,y)\text{에서} dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy=∂z∂xdx+∂z∂ydydz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy=\frac{\partial z}{\partial x} dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy
방향도함수와 기울기벡터 f가 x와 y의 미분가능한 함수이면, f\text{가 }x\text{와 }y\text{의 미분가능한 함수이면, } f는 모든 단위벡터 u=방향으로의 방향도함수를 갖고f\text{는 모든 단위벡터 }u= \text{방향으로의 방향도함수를 갖고} Duf(x,y)=fx(x,y)a+fy(x,y)b이다. 즉,D_uf(x,y)=f_x(x,y)a + f_y(x,y)b\text{이다. 즉,} Duf(x,y)=∇f(x,y)⋅u=⋅D_uf(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot u = \cdot ★단위벡터u에 주의하자. 예를들어, 벡터 v=방향으로의 방향도함수를 구할때는 u=v/|v|로 계산해야한다. 자칫 v= 그대로 사용하면 틀린 결과가 나오게된다. f가 두 변수 x와 y의 함수이면, f의 기울기벡터는 벡터함수∇f이고 다음과 같이 정의된다.f\text{가 두 변수 }x\text{와 }y\text{의 함수이면, }f\text{의 기울기벡터는 벡터함수}\nabla f\text{이고 다음과 같이 정의된다.} $$\nabla f(x,y) = = \fr..
곡률, 비틀림률 곡률\text{곡률} κ(t)=∣dTds∣=∣T′(t)∣∣r′(t)∣=∣r′(t)×r′′(t)∣∣r′(t)∣3\kappa(t)=|\frac{dT}{ds}|=\frac{|T'(t)|}{|r'(t)|}=\frac{|r'(t) \times r''(t)|}{|r'(t)|^3} 비틀림률\text{비틀림률} τ(t)=−dBds⋅N=−B′(t)⋅N(t)∣r′(t)∣=[r′×r′′]∣r′×r′′∣2⋅r′′′\tau(t)=-\frac{dB}{ds}\cdot N = -\frac{B'(t)\cdot N(t)}{|r'(t)|} = \frac{[r'\times r'']}{|r'\times r''|^2}\cdot r'''
벡터함수의 법선벡터와 종법선벡터 매끄러운 공간곡선r(t)에서\text{매끄러운 공간곡선} r(t)\text{에서} 단위접선벡터T(t)\text{단위접선벡터} T(t) 주단위법선벡터(단위법선벡터)N(t)\text{주단위법선벡터(단위법선벡터)} N(t) 종법선벡터B(t)\text{종법선벡터} B(t) 를 다음과같이 정의한다.\text{를 다음과같이 정의한다.} T(t)=r′(t)∣r′(t)∣T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|} N(t)=T′(t)∣T′(t)∣N(t)=\frac{T'(t)}{|T'(t)|} B(t)=T(t)×N(t)B(t)=T(t) \times N(t)

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