방향도함수와 기울기벡터

$$f\text{가 }x\text{와 }y\text{의 미분가능한 함수이면, }$$

$$f\text{는 모든 단위벡터 }u=<a,b> \text{방향으로의 방향도함수를 갖고}$$

$$D_uf(x,y)=f_x(x,y)a + f_y(x,y)b\text{이다. 즉,}$$

$$D_uf(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot u = <f_x(x,y),f_y(x,y)> \cdot <u_x, u_y>$$

 

★단위벡터u에 주의하자. 예를들어, 벡터 v=<3,5>방향으로의 방향도함수를 구할때는 u=v/|v|로 계산해야한다. 자칫 v=<3,5> 그대로 사용하면 틀린 결과가 나오게된다.

 

$$f\text{가 두 변수 }x\text{와 }y\text{의 함수이면, }f\text{의 기울기벡터는 벡터함수}\nabla f\text{이고 다음과 같이 정의된다.}$$

$$\nabla f(x,y) = <f_x(x,y),f_y(x,y)> = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial y}j$$