선형근사와 증분과 미분
삼변수함수에서 선형근사는 다음과같다. $$f(x,y,z)\approx f(a,b,c)+f_x(a,b,c)(x-a)+f_y(a,b,c)(y-b)+f_z(a,b,c)(z-c)$$ 이때, 선형화 L(x,y,z)는 위 식의 우변에 해당한다. 만약 w=f(x,y,z) 일때 w의 증분 Δw은 다음과같다. $$\Delta w = f(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z) - f(x, y, z)$$ 미분 dw의 값은 다음과 같다. $$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz$$
방향도함수와 기울기벡터
$$f\text{가 }x\text{와 }y\text{의 미분가능한 함수이면, }$$ $$f\text{는 모든 단위벡터 }u= \text{방향으로의 방향도함수를 갖고}$$ $$D_uf(x,y)=f_x(x,y)a + f_y(x,y)b\text{이다. 즉,}$$ $$D_uf(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot u = \cdot $$ ★단위벡터u에 주의하자. 예를들어, 벡터 v=방향으로의 방향도함수를 구할때는 u=v/|v|로 계산해야한다. 자칫 v= 그대로 사용하면 틀린 결과가 나오게된다. $$f\text{가 두 변수 }x\text{와 }y\text{의 함수이면, }f\text{의 기울기벡터는 벡터함수}\nabla f\text{이고 다음과 같이 정의된다.}$$ $$\nabla f(x,y) = = \fr..